矩阵总结


单位矩阵

在矩阵的乘法中,有一种矩阵起着特殊的作用,如同数的乘法中的1,这种矩阵被称为 单位矩阵 。它是个方阵,从左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为1。除此以外全都为0。

根据 单位矩阵 的特点,任何矩阵与 单位矩阵 相乘都等于本身,而且 单位矩阵 因此独特性在高等数学中也有广泛应用。

\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

方阵

方块矩阵,也称 方阵、方矩阵或正方矩阵,是行数及列数皆相同的矩阵。n×n阶矩阵被称为n阶 方阵


逆矩阵

逆矩阵 (inverse matrix),又称反矩阵。在线性代数中,给定一个n阶方阵\mathbf{A},若存在一个n阶方阵 \mathbf{B} ,使得\mathbf{AB}=\mathbf{BA}=\mathbf{I}_n,其中\mathbf{I}_n为n阶单位矩阵,则称\mathbf{A}是可逆的,且\mathbf{B}\mathbf{A}逆矩阵 ,记作\mathbf{A} ^{-1}

只有方阵(n×n 的矩阵)才可能有 逆矩阵 。若方阵\mathbf{A}逆矩阵 存在,则称\mathbf{A}为非奇异方阵或可逆方阵。

与行列式类似,逆矩阵 一般用于求解联立方程组。

性质

  1. \left (A^{-1}\right )^{-1}=A
  2. (\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}\times A^{-1}
  3. (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
  4. \left (A^\mathrm{T} \right )^{-1}=\left (A^{-1} \right )^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}}为A的转置)
  5. \det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}(det为行列式)

内积(点积)

点积(Dot Product)又称数量积或标量积(Scalar Product),是一种接受两个等长的数字序列(通常是坐标向量)、返回单个数字的代数运算。在欧几里得几何中,两个笛卡尔坐标向量的点积常称为 内积

从代数角度看,先对两个数字序列中的每组对应元素求积,再对所有积求和,结果即为点积。从几何角度看,点积则是两个向量的长度与它们夹角余弦的积。这两种定义在笛卡尔坐标系中等价。

点积的名称源自表示点乘运算的点号({\displaystyle a\cdot b}),读作{\displaystyle a\ dot\ b},标量积的叫法则是在强调其运算结果为标量而非向量。向量的另一种乘法是叉乘({\displaystyle a\times b}),其结果为向量,称为叉积或向量积。

点积是 内积 的一种特殊形式。

代数定义

两个向量{\displaystyle {\vec {a}}=[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]}{\displaystyle {\vec {b}}=[b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}]}的点积定义为:

\vec{a}\cdot \vec{b}=\sum\limits_{i=1}^{n} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n 这里的Σ是求和符号,而n是向量空间的维数。

例如,两个三维向量{\displaystyle \left[1,3,-5\right]}和{\displaystyle \left[4,-2,-1\right]}的点积是

{\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}} 点积还可以写为:

{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}{\vec {b}}^{T}}。 这里,{\displaystyle {\vec {b}}^{T}}是行向量\vec{b}的转置。

使用上面的例子,一个1×3矩阵(行向量)乘以一个3×1矩阵(列向量)的行列式就是结果(通过矩阵乘法得到1×1矩阵):

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\end{bmatrix}}=3}

几何定义

在欧几里得空间中,点积可以直观地定义为

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \, |\vec{b}| \cos \theta \;

这里 |\vec{x}| 表示\vec{x}的模(长度),\theta 表示两个向量之间的角度。

注意:点积的形式定义和这个定义不同;在形式定义中,\vec{a}\vec{b}的夹角是通过上述等式定义的。

这样,两个互相垂直的向量的点积总是零。若\vec{a}\vec{b}都是单位向量(长度为1),它们的点积就是它们的 夹角的余弦。那么,给定两个向量,它们之间的夹角可以通过下列公式得到:

\cos{\theta} = \frac{\mathbf{a \cdot b}}{|\vec{a}| \, |\vec{b}|}

这个运算可以简单地理解为:在点积运算中,第一个向量投影到第二个向量上(这里,向量的顺序是不重要的,点积运算是可交换的),然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样,这个分数一定是小于等于1的,可以简单地转化成一个角度值。

性质

点积具有以下性质。

  • 满足交换律:

    {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}

    从定义即可证明(\theta 为a与b的夹角):

    {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left\|{\vec {a}}\right\|\left\|{\vec {b}}\right\|\cos \theta =\left\|{\vec {b}}\right\|\left\|{\vec {a}}\right\|\cos \theta ={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}

  • 对向量加法满足分配律:

    \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}

  • 点积是双线性算子:

    {\displaystyle {\vec {a}}\cdot (r{\vec {b}}+{\vec {c}})=r({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})+({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})}

  • 在乘以标量时满足:

    (c_1\vec{a}) \cdot (c_2\vec{b}) = (c_1c_2) (\vec{a} \cdot \vec{b})

  • 不满足结合律。 因为标量({\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}})与向量(\vec{c})的点积没有定义,所以结合律相关的表达式{\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}}{\displaystyle {\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})} 都没有良好的定义


外积(叉积)

在数学和向量代数领域,叉积(Cross product)又称向量积(Vector product),是对三维空间中的两个向量的二元运算,使用符号 \times。与点积不同,它的运算结果是向量。

对于线性无关的两个向量 \mathbf {a}\mathbf {b} ,它们的叉积写作 {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} },是 \mathbf {a}\mathbf {b} 所在平面的法线向量,与 \mathbf {a}\mathbf {b} 都垂直。

代数性质

对于任意三个向量 \mathbf {a}\mathbf {b}\mathbf {c}

  • {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0} }

  • {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {0} =\mathbf {0} }

  • {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a} }(反交换律)

  • {\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times \mathbf {c} }(加法的左分配律)

  • {\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} +\mathbf {b} \times \mathbf {c} }(加法的右分配律)

  • {\displaystyle (\lambda \mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\lambda (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \times (\lambda \mathbf {b} )}

  • {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {d} =(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\times (\mathbf {b} -\mathbf {d} )+\mathbf {a} \times \mathbf {d} +\mathbf {c} \times \mathbf {b} }

  • {\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {b} \times \mathbf {a} |}

  • {\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\\end{vmatrix}}}(拉格朗日恒等式)

一般来说,向量叉积不遵守约简律,即 {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} } 不表示{\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {c} }。此外,{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0} } 不表示 {\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }{\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {0} }

但对于两个非零向量 \mathbf {a}\mathbf {b}:

  • {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0} } 当且仅当 \mathbf {a} 平行于 \mathbf {b}

欧式变换

假设存在两个坐标系:一个世界坐标系,定义为某个墙角和它的三条边,并是一个惯性系;一个机器人坐标系,是一个随机器人移动的坐标系。假设机器人观察到了某个向量\mathbf {P} , 它在这两个坐标系中分别有一套坐标。前面说了,向量是一个客观存在的实体,那么必然有一个关系能够将这两套坐标联系起来。

这个关系就是欧式变换。因为机器人的运动是一个刚体运动,所以同一个向量在不同坐标系下的模长和方向都不会发生变化。这样一个欧式变换就是由一个旋转和一个平移两部分组成。


标准正交基

在线性代数中,一个内积空间的正交基(orthogonal basis)是元素两两正交的基。称基中的元素为基向量。假若,一个正交基的基向量的模长都是单位长度1,则称这正交基为标准正交基或"规范正交基"(Orthonormal basis)。

在欧几里德空间{\mathbb{R}}^{{3}}中,
e1=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} e2=\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} e3=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix},
[e1,e2,e3]组成一个标准正交基,即:
\begin{bmatrix} 1 &0 &0\\ 0 &1 &0\\ 0 &0 &1 \end{bmatrix}